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材料加工冶金传输原理习题答案

日期:2021-03-01  类别:最新范文  编辑:教师范文吧  【下载本文Word版

材料加工冶金传输原理习题答案 本文关键词:习题,传输,冶金,原理,答案

材料加工冶金传输原理习题答案 本文简介:第一章流体的主要物理性质1-1何谓流体,流体具有哪些物理性质?答:流体是指没有固定的形状、易于流动的物质。它包括液体和气体。流体的主要物理性质有:密度、重度、比体积压缩性和膨胀性。1-2某种液体的密度ρ=900Kg/m3,试求教重度y和质量体积v。解:由液体密度、重度和质量体积的关系知:∴质量体积为

材料加工冶金传输原理习题答案 本文内容:

第一章

流体的主要物理性质

1-1何谓流体,流体具有哪些物理性质?

答:流体是指没有固定的形状、易于流动的物质。它包括液体和气体。

流体的主要物理性质有:密度、重度、比体积压缩性和膨胀性。

1-2某种液体的密度ρ=900

Kg/m3,试求教重度y和质量体积v。

解:由液体密度、重度和质量体积的关系知:

∴质量体积为

1.4某种可压缩液体在圆柱形容器中,当压强为2MN/m2时体积为995cm3,当压强为1MN/m2时体积为1000

cm3,问它的等温压缩率kT为多少?

解:等温压缩率KT公式(2-1):

ΔV=995-1000=-5*10-6m3

注意:ΔP=2-1=1MN/m2=1*106Pa

将V=1000cm3代入即可得到KT=5*10-9Pa-1。

注意:式中V是指液体变化前的体积

1.6

如图1.5所示,在相距h=0.06m的两个固定平行乎板中间放置另一块薄板,在薄

板的上下分别放有不同粘度的油,并且一种油的粘度是另一种油的粘度的2倍。当薄板以匀速v=0.3m/s被拖动时,每平方米受合力F=29N,求两种油的粘度各是多少?

解:流体匀速稳定流动时流体对板面产生的粘性阻力力为

平板受到上下油面的阻力之和与施加的力平衡,即

代入数据得η=0.967Pa.s

第二章

流体静力学(吉泽升版)

2-1作用在流体上的力有哪两类,各有什么特点?

解:作用在流体上的力分为质量力和表面力两种。质量力是作用在流体内部任何质点上的力,大小与质量成正比,由加速度产生,与质点外的流体无关。而表面力是指作用在流体表面上的力,大小与面积成正比,由与流体接触的相邻流体或固体的作用而产生。

2-2什么是流体的静压强,静止流体中压强的分布规律如何?

解:

流体静压强指单位面积上流体的静压力。

静止流体中任意一点的静压强值只由该店坐标位置决定,即作用于一点的各个方向的静压强是等值的。

2-3写出流体静力学基本方程式,并说明其能量意义和几何意义。

解:流体静力学基本方程为:

同一静止液体中单位重量液体的比位能

可以不等,比压强也可以不等,但比位

能和比压强可以互换,比势能总是相等的。

2-4如图2-22所示,一圆柱体d=0.1m,质量M=50kg.在外力F=520N的作用下压进容器中,当h=0.5m时达到平衡状态。求测压管中水柱高度H=?

解:由平衡状态可知:

代入数据得H=12.62m

2.5盛水容器形状如图2.23所示。已知hl=0.9m,h2=0.4m,h3=1.1m,h4=0.75m,h5=1.33m。求各点的表压强。

解:表压强是指:实际压强与大气压强的差值。

2-6两个容器A、B充满水,高度差为a0为测量它们之间的压强差,用顶部充满油的倒U形管将两容器相连,如图2.24所示。已知油的密度ρ油=900kg/m3,h=0.1m,a=0.1m。求两容器中的压强差。

解:记AB中心高度差为a,连接器油面高度差为h,B球中心与油面高度差为b;由流体静力学公式知:

2-8一水压机如图2.26所示。已知大活塞直径D=11.785cm,小活塞直径d=5cm,杠杆臂长a=15cm,b=7.5cm,活塞高度差h=1m。当施力F1=98N时,求大活塞所能克服的载荷F2。

解:由杠杆原理知小活塞上受的力为F3:

由流体静力学公式知:

∴F2=1195.82N

2-10水池的侧壁上,装有一根直径d=0.6m的圆管,圆管内口切成a=45°的倾角,并在这切口上装了一块可以绕上端铰链旋转的盖板,h=2m,如图2.28所示。如果不计盖板自重以及盖板与铰链间的摩擦力,问开起盖板的力T为若干?(椭圆形面积的JC=πa3b/4)

解:建立如图所示坐标系oxy,o点在自由液面上,y轴沿着盖板壁面斜向下,盖板面为椭圆面,在面上取微元面dA,纵坐标为y,淹深为h=y

sin

θ,微元面受力为

板受到的总压力为

盖板中心在液面下的高度为

hc=d/2+h0=2.3m,yc=a+h0/sin45°

盖板受的静止液体压力为F=γhcA=9810*2.3*πab

压力中心距铰链轴的距离为

X=d=0.6m,由理论力学平衡理论知,当闸门刚刚转动时,力F和T对铰链的力矩代数和为零,即:

故T=6609.5N

2-14有如图2.32所示的曲管AOB。OB段长L1=0.3m,∠AOB=45°,AO垂直放置,B端封闭,管中盛水,其液面到O点的距离L2=0.23m,此管绕AO轴旋转。问转速为多少时,B点的压强与O点的压强相同?OB段中最低的压强是多少?位于何处?

解:盛有液体的圆筒形容器绕其中心轴以等角速度ω旋转时,其管内相对静止液体压强分布为:

以A点为原点,OA为Z轴建立坐标系

O点处面压强为

B处的面压强为

其中:Pa为大气压。

当PB=PO时ω=9.6rad/s

OB中的任意一点的压强为

对上式求P对r的一阶导数并另其为0得到,

即OB中压强最低点距O处

代入数据得最低压强为Pmin=103060Pa

第三章习题(吉泽升版)

3.1已知某流场速度分布为

,试求过点(3,1,4)的流线。

解:由此流场速度分布可知该流场为稳定流,流线与迹线重合,此流场流线微分方程为:

即:

求解微分方程得过点(3,1,4)的流线方程为:

3.2试判断下列平面流场是否连续?

解:由不可压缩流体流动的空间连续性方程(3-19,20)知:

当x=0,1,或y=k

π

(k=0,1,2,……)时连续。

3.4三段管路串联如图3.27所示,直径d1=100

cm,d2=50cm,d3=25cm,已知断面平均速度v3=10m/s,求v1,v2,和质量流量(流体为水)。

解:可压缩流体稳定流时沿程质量流保持不变,

故:

质量流量为:

3.5水从铅直圆管向下流出,如图3.28所示。已知管直径d1=10

cm,管口处的水流速度vI=1.8m/s,试求管口下方h=2m处的水流速度v2,和直径d2。

解:以下出口为基准面,不计损失,建立上出口和下出口面伯努利方程:

代入数据得:v2=6.52m/s

得:d2=5.3cm

3.6水箱侧壁接出一直径D=0.15m的管路,如图3.29所示。已知h1=2.1m,h2=3.0m,不计任何损失,求下列两种情况下A的压强。(1)管路末端安一喷嘴,出口直径d=0.075m;(2)管路末端没有喷嘴。

解:以A面为基准面建立水平面和A面的伯努利方程:

以B面为基准,建立A,B面伯努利方程:

(1)当下端接喷嘴时,

解得va=2.54m/s,PA=119.4KPa

(2)当下端不接喷嘴时,

解得PA=71.13KPa

3.7如图3.30所示,用毕托管测量气体管道轴线上的流速Umax,毕托管与倾斜(酒精)微压计相连。已知d=200mm,sinα=0.2,L=75mm,酒精密度ρ1=800kg/m3,气体密度ρ2=1.66Kg/m3;Umax=1.2v(v为平均速度),求气体质量流量。

解:此装置由毕托管和测压管组合而成,沿轴线取两点,A(总压测点),测静压点为B,过AB两点的断面建立伯努利方程有:

其中ZA=ZB,vA=0,此时A点测得

的是总压记为PA*,静压为PB

不计水头损失,化简得

由测压管知:

由于气体密度相对于酒精很小,可忽略不计。

由此可得

气体质量流量:

代入数据得M=1.14Kg/s

3.9如图3.32所示,一变直径的管段AB,直径dA=0.2m,dB=0.4m,高差h=1.0m,用压强表测得PA=7x104Pa,PB=4x104Pa,用流量计测得管中流量Q=12m3/min,试判断水在管段中流动的方向,并求损失水头。

解:由于水在管道内流动具有粘性,沿着流向总水头必然降低,故比较A和B点总水头可知管内水的流动方向。

即:管内水由A向B流动。

以过A的过水断面为基准,建立A到B的伯努利方程有:

代入数据得,水头损失为hw=4m

第四章(吉泽升版)

4.1

已知管径d=150

mm,流量Q=15L/s,液体温度为

10

℃,其运动粘度系数ν=0.415cm2/s。试确定:(1)在此温度下的流动状态;(2)在此温度下的临界速度;(3)若过流面积改为面积相等的正方形管道,则其流动状态如何?

解:流体平均速度为:

雷诺数为:

故此温度下处在不稳定状态。

因此,由不稳定区向湍流转变临界速度为:

由不稳定区向层流转变临界速度为:

若为正方形则

故为湍流状态。

4.2

温度T=5℃的水在直径d=100mm的管中流动,体积流量Q=15L/s,问管中水流处于什么运动状态?

解:由题意知:水的平均流速为:

查附录计算得T=5℃的水动力粘度为

根据雷诺数公式

故为湍流。

4.3

温度T=15℃,运动粘度ν=0.0114cm2/s的水,在

直径d=2cm的管中流动,测得流速v=8cm/s,问水流处于什么状态?如要改变其运动,可以采取哪些办法?

解:由题意知:

故为层流。

升高温度或增大管径d均可增大雷诺数,从而改变运动状态。

4.5

在长度L=10000m、直径d=300mm的管路中输送重γ=9.31kN/m3的重油,其重量流量G=2371.6kN/h,求油温分别为10℃(ν=25cm2/s)和40℃(ν=1.5cm2/s)时的水头损失

解:由题知:

油温为10℃时

40℃时

4.6某一送风管道(钢管,⊿=0.2mm).长l=30m,直径d=750

mm,在温度T=20℃的情况下,送风量Q=30000m3/h。问:(1)此风管中的沿程损失为若干?(2)使用一段时间后,其绝对粗糙度增加到⊿=1.2mm,其沿程损失又为若干?(T=20℃时,空气的运动粘度系数ν=0.175cm2/s)

解:(1)由题意知:

由于Re>3.29*105,故

(2):同(1)有

4.7直径d=200m,长度l=300m的新铸铁管、输送重度γ=8.82kN/m3的石油.已测得流量Q=0.0278m3/s。如果冬季时油的运动粘性系数ν1=1.092cm2/s,夏季时ν2=0.355cm2/s,问在冬季和夏季中,此输油管路中的水头损失h1各为若干?

解:由题意知

冬季

同理,夏季有

因为

由布拉休斯公式知:

第五章

边界层理论

5.2流体在圆管中流动时,“流动已经充分发展”的含义是什么?在什么条件下会发生充分发展了的层流,又在什么条件下会发生充分发展了的湍流?

答:

流体在圆管中流动时,由于流体粘性作用截面上的速度分布不断变化,直至离管口一定距离后不再改变。进口段内有发展着的流动,边界层厚度沿管长逐渐增加,仅靠固体壁面形成速度梯度较大的稳定边界层,在边界层之外的无粘性流区域逐渐减小,直至消失后,便形成了充分发展的流动。

当流进长度不是很长(l=0.065dRe),Rex小于Recr时为充分发展的层流。随着流进尺寸的进一步增加至l=25-40d左右,使得Rex大于Recr时为充分发展的湍流

3.常压下温度为30℃的空气以10m/s的速度流过一光滑平板表面,设临界雷诺数Recr=3.2*105,试判断距离平板前缘0.4m及0.8m两处的边界层是层流边界层还是湍流边界层?求出层流边界层相应点处的边界层厚度

解:由题意临界雷诺数知对应的厚度为x,则

4.

常压下,20℃的空气以10m/s的速度流过一平板,试用布拉修斯解求距平板前缘0.1m,vx/v∞=0处的y,δ,vx,vy,及avx/y

解:平板前缘0.1m处

故为层流边界层

又由

由速度分布与边界层厚度的关系知:

再由

由布拉修斯解知

5.η=0.73Pa·s、ρ=925Kg/m3的油,以0.6m/s速度平行地流过一块长为0.5m宽为0.15m的光滑平板,求出边界层最大厚度、摩擦阻力系数及平板所受的阻力

解:(1)由题意知:

第七章

相似原理与量纲分析

1.

用理想流体的伯努利方程式,以相似转换法导出Fr数和Eu数

解:

理想流体的伯努利方程:

实际系统:

(1)

模型系统:

(2)

做相似变换得

代入(2)式得

上式的各项组合数群必须相等,即:

所以,所以将上述相似变换代入上式得到弗劳德数和欧拉数

得:

3.

设圆管中粘性流动的管壁切应力τ与管径d,粗糙度Δ,流体密度ρ,黏度η,流速有关ν,试用量纲分析法求出它们的关系式

解法一:设有关物理量关系式为:,其中

量纲关系

因此,

===

解法二:由关系式知:

选择d,ρ

,V为基本物理量,则τ

,η

,⊿均可由它们表示,由此得到三个无量纲参数

所以

由此可得准数方程:

5.用孔板测流量。管路直径为d,流体密度为ρ,运动粘性系数为ν,流体经过孔板时的速度为v,孔板前后的压力差为Δp。试用量纲分析法导出流量Q的表达式。

解:物理量之间的关系

选择d,,V为基本物理量,则

,对,1=b

对,-1=-C

对,0=a-3b+c

对,1=y

对,-1=x-3y+z

对,-2=-z

可得准数方程

所以,

第八章

热量传递的基本概念

2.当铸件在砂型中冷却凝固时,由于铸件收缩导致铸件表面与砂型间产生气隙,气隙中的空气是停滞的,试问通过气隙有哪几种基本的热量传递方式?

答:热传导、辐射。

注:无对流换热

3.在你所了解的导热现象中,试列举一维、多维温度场实例。

答:工程上许多的导热现象,可以归结为温度仅沿一个方向变化,而且与时间无关的一维稳态导热现象。

例,大平板、长圆筒和球壁。此外还有半无限大物体,如铸造时砂型的受热升温(砂型外侧未被升温波及)

多维温度场:有限长度的圆柱体、平行六面体等,如钢锭加热,焊接厚平板时热源传热过程。

4.假设在两小时内,通过152mm×152mm×13mm(厚度)实验板传导的热量为

837J,实验板两个平面的温度分别为19℃和26℃,求实验板热导率。

解:由傅里叶定律可知两小时内通过面积为152×152mm2的平面的热量为

873=-

第九章

1.

对正在凝固的铸件来说,其凝固成固体部分的两侧分别为砂型(无气隙)及固液分界面,试列出两侧的边界条件。

解:有砂型的一侧热流密度为

常数,故为第二类边界条件,

即τ>0时

固液界面处的边界温度为常数,

故为第一类边界条件,即

τ>0时Τw=f(τ)

注:实际铸件凝固时有气隙形成,边界条件复杂,常采用第三类边界条件

3.

用一平底锅烧开水,锅底已有厚度为3mm的水垢,其热导率λ为1W/(m

·

℃)。已知与水相接触的水垢层表面温度为111

℃。通过锅底的热流密度q为42400W/m2,试求金属锅底的最高温度。

解:热量从金属锅底通过水垢向水传导的过程可看成单层壁导热,由公式(9-11)知

111℃,

=238.2℃

4.

有一厚度为20mm的平面墙,其热导率λ为1.3W/(m·℃)。为使墙的每平方米热损失不超过1500W,在外侧表面覆盖了一层λ为0.1

W/(m·℃)的隔热材料,已知复合壁两侧表面温

度分布750

℃和55

℃,试确定隔热层的厚度。

解:由多层壁平板导热热流密度计算公式(9-14)知每平方米墙的热损失为

6.

冲天炉热风管道的内/外直径分别为160mm和170mm,管外覆盖厚度为80mm的石棉隔热层,管壁和石棉的热导率分别为λ1=58.2W/(m℃),λ2=0.116W/(m℃)。已知管道内表面温度为240

,石棉层表面温度为40

,求每米长管道的热损失。

解:由多层壁圆管道导热热流量公式(9-22)知,所以每米长管道的热损失为

7.解:

查表已知

8.

外径为100mm的蒸汽管道覆盖隔热层采有密度为20Kg/m3的超细玻璃棉毡,已知蒸汽管外壁温度为400℃,要求隔热层外壁温度不超过50℃,而每米长管道散热量小于163W,试确定隔热层的厚度。

解:已知

查附录C知超细玻璃棉毡热导率

由圆筒壁热流量计算公式(9-20)知:

得出

9.

解:UI

10.

在如图9-5所示的三层平壁的稳态导热中,已测的t1,t2,t3及t4分别为600℃,500℃,200℃及100℃,试求各层热阻的比例

解:根据热阻定义可知

而稳态导热时各层热流量相同,由此可得各层热阻之比为

=100:300:100

=1:3:1

11.题略

解:(参考例9-6)

查表,代入式得

kk

12.液态纯铝和纯铜分别在熔点(铝660℃,铜1083℃)浇铸入同样材料构成的两个砂型中,砂型的密实度也相同。试问两个砂型的蓄热系数哪个大?为什么?

答:此题为讨论题,砂型的蓄热系数反映的是材料的蓄热能力,综合反映材料蓄热和导热能力的物理量,取决于材料的热物性。

两个砂型材料相同,它们的热导率λ和比热容c及紧实度都相同,故两个砂型的蓄热系数一样大。

注:铸型的蓄热系数与所选造型材料的性质、型砂成分的配比、砂型的紧实度及冷铁等因素有关!

考虑温度影响时,浇注纯铜时由于温度较纯铝的高,砂型的热导率会增大,比热和密度基本不变,从而使得砂型蓄热系数会有所增大

13.试求高0.3m,宽0.6m且很长的矩形截面铜柱体放入加热炉内一小时后的中心温度。已知:铜柱体的初始温度为20℃,炉温1020℃,表面传热系数a=232.6W/(m2·℃),λ=34.9W/(m·℃),c=0.198KJ/(Kg·℃),ρ=780Kg/m3。

解:此题为二维非稳态导热问题,参考例9.8

,可看成两块无限大平板导热求解,铜柱中心温度最低,以其为原点,以两块平板法线方向为坐标轴,分别为x,y轴。则有:

热扩散率

㎡/s

查9-14得,,

钢镜中心的过余温度准则为

中心温度为=0.036*(293-1293)+1293

=1257k=984℃

15.一含碳量Wc≈0.5%的曲轴,加热到600℃后置于20℃的空气中回火。曲轴的质量为7.84Kg,表面积为870cm2,比热容为418.7J/(Kg·℃),密度为7840Kg/m3,热导率为42W/(m·℃),冷却过程的平均表面传热系数取为29.1W/(m2·℃),问曲轴中心冷却到30℃所经历的时间。(原题有误)

解:当固体内部的导热热阻小于其表面的换热热阻时,固体内部的温度趋于一致,近似认为固体内部的温度t仅是时间τ的一元函数而与空间坐标无关,这种忽略物体内部导热热阻的简化方法称为集总参数法。

通常,当毕奥数Bid

。近似地采用稳态工况下获得的准则式来比较两种情况下自然对流表面传热系数,则有:

(1)

水平放置.,,(2)

竖直放置.,,由此可知:对给定情形,水平放置时冷却比较快。所以为了加速冷却,圆柱体应水平放置。

3.

一热工件的热面朝上向空气散热。工件长500mm,宽200mm,工件表面温度220℃,室温20℃,试求工件热面自然对流的表面传热系数(对原答案计算结果做了修改)

解:定性温度

定性温度下空气的物理参数:

特征尺寸,

热面朝上:

故为湍流。

查表得

4.

上题中若工件热面朝下散热,试求工件热面自然对流表面传热系数

解:热面朝下:,层流,查表得

5.

有一热风炉外径D=7m,高H=42m,当其外表面温度为200℃,与环境温度之差为40℃,求自然对流散热量(原答案缺少最后一步,已添加)

解:定性温度

定性温度下空气的物性参数为:,依题应为垂直安装,则特征尺寸为H

=

42

m.,为湍流.

查表得

自然对流散热量为

7.

在外掠平板换热问题中,试计算25℃的空气及水达到临界雷诺数各自所需的板长,取流速v=1m/s计算,平板表面温度100℃(原答案计算有误,已修改)

解:定性温度为

(1).对于空气查附录计算得

(2).

对于水则有

8.

在稳态工作条件下,20℃的空气以10m/s的速度横掠外径为50mm,管长为3m的圆管后,温度增至40℃。已知横管内匀布电热器消耗的功率为1560W,试求横管外侧壁温(原答案定性温度计算有误,已修改)

解:

采用试算法

假设管外侧壁温为60℃,则定性温度为

查表得

即:

与假设不符,故重新假设,设壁温为.则定性温度

查表得

,即:

与假设温度误差小于5%,是可取的。即壁面温度为79.80℃.

10.

压力为1.013*105Pa的空气在内径为76mm的直管内强制流动,入口温度为65℃,入口体积流量为0.022m3/s,管壁平均温度为180℃,试问将空气加热到115℃所需管长为多少?

解:强制对流定性温度为流体平均温度流体平均温度,查查附录F得

为旺盛湍流。

由于流体温差较大应考虑不均匀物性的影响,应采用实验准则式(10-23或24)计算Nuf

=56.397

质量流量

散热量

因为,所以需要进行入口段修正。

入口段修正系数为

所需管长:

11.

解:

12.管内强制对流湍流时的换热,若Re相同,在tf=30℃条件下水的表面传热系数比空气的高多少倍?

解:定性温度℃

查附录D得到:

查附录F得到:

为湍流,故相同

在该条件下,水的表面传热系数比空气高52.46倍。

第十一章

辐射换热

1.

100W灯泡中钨丝温度为2800K,发射率为0.30。(1)若96%的热量依靠辐射方式散出,试计算钨丝所需要最小面积;(2)计算钨丝单色辐射率最大时的波长

解:(1)

钨丝加热发光,按黑体辐射发出连续光谱

将数据代入为:A1=9.2*10-5㎡

(2)由维恩位移定律知,单色辐射力的峰值波长与热力学温度的关系

m.k,当T=2800k时,=1.034*10-6m

3.

一电炉的电功率为1KW,炉丝温度为847℃,直径为1mm,电炉的效率(辐射功率与电功率之比)为0.96,炉丝发射率为0.95,试确定炉丝应多长?

解:由黑度得到实际物体辐射力的计算公式知:

4.

试确定图11-28中两种几何结构的角系数X12

解:①由角系数的分解性得:

由角系数的相对性得:

所以

对于表面B和(1+A),X=1.5、Y=1.5、Z=2时,,查表得

,对于表面B和A,X=1.5,Y=1.5,Z=1,,查表得,所以,。对表面(2+B)和(1+A),X=1.5,Y=2.5,Z=2,,查表得。对于表面(2+B),A,X=1.5,Y=2.5,Z=1,,查表得,所以,

②由角系数的分解性,,对表面2和A,X=1.5,Y=1,Z=1,,查表得。对面2和(1+A),X=1.5,Y=1,Z=2,

查表得,代入数据得,所以

5.两块平行放置的大平板的表面发射率均为0.8,温度分别为t1=527℃和t2=27℃,板的间距远小于板的宽与高。试计算(1)板1的本身辐射(2)对板1的投入辐射(3)板1的反射辐射(4)板1的有效辐射(5)板2的有效辐射(6)板1与2的辐射换热量

解:由于两板间距极小,可视为两无限大平壁间的辐

射换热,辐射热阻网络如图,包括空间热阻和两个表

面辐射热阻。

ε=α=0.8,辐射换热量计算公式为

(11-29)

其中J1和J2为板1和板2的有效辐射,将上式变换后得

故:(1)板1的本身辐射为

(2)对板1的投入辐射即为板2的有效辐射

(3)板1的反射辐射为,

ρ1=1-

α=0.2,(4)板1的有效辐射为

(5)板2的有效辐射为

(6)由于板1与2间的辐射换热量为:

6.

设保温瓶的瓶胆可看作直径为10cm高为26cm的圆柱体,夹层抽真空,夹层两内表面发射率都为0.05。试计算沸水刚注入瓶胆后,初始时刻水温的平均下降速率。夹层两壁壁温可近似取为100℃及20℃

解:,代入数据得w,而,查附录知100

℃水的物性参数为

代入数据得℃/s

7.

两块宽度为W,长度为L的矩形平板,面对面平行放置组成一个电炉设计中常见的辐射系统,板间间隔为S,长度L比W和S都大很多,试求板对板的角系数

解:(参照例11-1)作辅助线ac和bd,代表两个假想面,与、组成一个封闭腔,根据角系数完整性:,同时可把图形看成两个由三个表面组成的封闭腔,对的角系数

8.

一电炉内腔如图11-29所示,已知顶面1的温度t1=30℃,侧面2(有阴影线的面)的温度为t2=250℃,其余表面都是重辐射面。试求L1)1和2两个面均为黑体时的辐射换热量;(2)1和2两个面为灰体ε1=0.2,ε2=0.8时的辐射换热量

解:将其余四个面看成一个面从而构成一个由三个表面组成的封闭系统

⑴当1、2两个面均为黑体,另一个表面绝热,系统网络

图如下

先求1对2的角系数:

X=4000,Y=5000,Z=3000,,查表得,

代入数据得

(为J1、J2之间的当量热阻),

w/㎡

w/㎡

w(负号表示热量由2传导1)

(2)当1、2面为灰体,另一表面为绝热面,系统网络图如下

负号表示热量从2面传向1面。

9.

直径为0.4m的球壳内充满N2,CO2,和水蒸气(H2O)组成的混合气体,其温度t

g=527℃。组成气体的分压力分别为PN2=1.013*105Pa,PCO2=0.608*105Pa,PH2O=0.441*105Pa,试求混合气体的发射率εg

解:为透明体,无发射和吸收辐射的能力。

射程L=0.6,d=0.24m,

混合气体的温度及和值查图11-24和11-26得

=0.019,

计算参量(P+P)/2=(2.062+0.441)/2=1.252

/(+)=0.441/(0.441+0.608)=0.42

(+)L=(0.441+0.608)

分别从图11-25,11-27查得:

把以上各式代入公式+-

=1.55

篇2:无机材料物理性能习题解答关振铎-张中太--焦金生版

无机材料物理性能习题解答关振铎-张中太--焦金生版 本文关键词:无机,习题,解答,材料,物理性能

无机材料物理性能习题解答关振铎-张中太--焦金生版 本文简介:《材料物理性能》习题解答材料物理性能习题与解答目录1材料的力学性能22材料的热学性能123材料的光学性能174材料的电导性能205材料的磁学性能296材料的功能转换性能371材料的力学性能1-1一圆杆的直径为2.5mm、长度为25cm并受到4500N的轴向拉力,若直径拉细至2.4mm,且拉伸变形后圆

无机材料物理性能习题解答关振铎-张中太--焦金生版 本文内容:

《材料物理性能》

习题解答

材料物理性能

习题与解答

1

材料的力学性能2

2

材料的热学性能12

3

材料的光学性能17

4

材料的电导性能20

5

材料的磁学性能29

6

材料的功能转换性能37

1材料的力学性能

1-1一圆杆的直径为2.5

mm、长度为25cm并受到4500N的轴向拉力,若直径拉细至2.4mm,且拉伸变形后圆杆的体积不变,求在此拉力下的真应力、真应变、名义应力和名义应变,并比较讨论这些计算结果。

解:根据题意可得下表

拉伸前后圆杆相关参数表

体积V/mm3

直径d/mm

圆面积S/mm2

拉伸前

1227.2

2.5

4.909

拉伸后

1227.2

2.4

4.524

由计算结果可知:真应力大于名义应力,真应变小于名义应变。

1-2一试样长40cm,宽10cm,厚1cm,受到应力为1000N拉力,其杨氏模量为3.5×109

N/m2,能伸长多少厘米?

1cm

10cm

40cm

Load

Load

解:

1-3一材料在室温时的杨氏模量为3.5×108

N/m2,泊松比为0.35,计算其剪切模量和体积模量。

解:根据

可知:

1-4试证明应力-应变曲线下的面积正比于拉伸试样所做的功。

证:

1-5一陶瓷含体积百分比为95%的Al2O3

(E

=

380

GPa)和5%的玻璃相(E

=

84

GPa),试计算其上限和下限弹性模量。若该陶瓷含有5

%的气孔,再估算其上限和下限弹性模量。

解:令E1=380GPa,E2=84GPa,V1=0.95,V2=0.05。则有

当该陶瓷含有5%的气孔时,将P=0.05代入经验计算公式E=E0(1-1.9P+0.9P2)可得,其上、下限弹性模量分别变为331.3

GPa和293.1

GPa。

1-6试分别画出应力松弛和应变蠕变与时间的关系示意图,并算出t

=

0,t

=

和t

=

时的纵坐标表达式。

解:Maxwell模型可以较好地模拟应力松弛过程:

Voigt模型可以较好地模拟应变蠕变过程:

以上两种模型所描述的是最简单的情况,事实上由于材料力学性能的复杂性,我们会用到用多个弹簧和多个黏壶通过串并联组合而成的复杂模型。如采用四元件模型来表示线性高聚物的蠕变过程等。

1-7试述温度和外力作用频率对聚合物力学损耗角正切的影响并画出相应的温度谱和频率谱。

解:(详见书本)。

1-8一试样受到拉应力为1.0×103

N/m2,10秒种后试样长度为原始长度的1.15倍,移去外力后试样的长度为原始长度的1.10倍,若可用单一Maxwell模型来描述,求其松弛时间τ值。

解:根据Maxwell模型有:

可恢复

不可恢复

依题意得:

所以松弛时间τ=η/E=1.0×105/2×104=5(s).

1-9一非晶高聚物的蠕变行为可用一个Maxwell模型和一个Voigt模型串联描述,若t=0时施以拉伸应力为1.0×104

N/m2至10小时,应变为0.05,移去应力后的回复应变可描述为,t为小时,请估算该力学模型的四个参数值。

η3,ε3

η2,ε2

E2,ε2

E1,ε1

解:据题即求如图E1,E2,η2和η3四参数。如图所示有

其中ε1立即回复,ε2逐渐回复,ε3不能回复。

Voigt的回复方程为:,这里t为从回复时算起,而题目的t为从开始拉伸时算起,所以此题的回复方程为:

排除立即恢复后的应变,应变的回复方程就可写成

1-10当取Tg为参考温度时log中的C1=17.44,C2=51.6,求以Tg+50℃为参考温度时WLF方程中的常数C1和C2。

解:

τ

60°

53°

Ф3mm

1-11一圆柱形Al2O3晶体受轴向拉力F,若其临界抗剪强度τf为135

MPa,求沿图中所示之方向的滑移系统产生滑移时需要的最小拉力值,并求滑移面的法向应力。

解:

1-12拉伸某试样得到如下表的数据,试作曲线图,并估算杨氏模量、屈服应力和屈服时的伸长率以及抗张强度。

5

10

20

30

40

50

60

250

500

950

1250

1470

1565

1690

70

80

90

100

120

150

1660

1500

1400

1380

1380(断)

ε

屈服点

扬氏模量,由图中未达屈服点时线段的斜率可求出。(图中可以读出),屈服时伸长率即为屈服点的应变,断裂时对应的即是抗张强度。

1-13氦原子的动能是E=kT(式中波尔兹曼常数k=1.38x10-23

J/K),求T

=

1

K时氦原子的物质波的波长。

解:

1-14利用Sommerfeld的量子化条件,求一维谐振子的能量。

解:

1-15波函数的几率流密度,取球面坐标时,算符

,求定态波函数的几率流密度。

解:

1-16一粒子在一维势阱中运动,势阱为

求束缚态(0

0.021

用此试件来求KIC值的不可能。

1-22

一陶瓷零件上有一垂直于拉应力的边裂,如边裂长度为:(1)2mm;(2)0.049mm;(3)2

um,分别求上述三种情况下的临界应力。设此材料的断裂韧性为1.62MPa.m2。讨论讲结果。

Y=1.12=1.98

=

(1)

c=2mm,(2)

c=0.049mm,c=2um,2

材料的热学性能

2-1

计算室温(298K)及高温(1273K)时莫来石瓷的摩尔热容值,并请和按杜龙-伯蒂规律计算的结果比较。

(1)

当T=298K,Cp=a+bT+cT-2=87.55+14.96*10-3*298-26.68*105/2982

=87.55+4.46-30.04

=61.974.18J/mol.K

(2)

当T=1273K,Cp=a+bT+cT-2=87.55+14.96*10-3*1293-26.68*105/12732

=87.55+19.34-1.65

=105.24*4.18J/mol.K=438.9

J/mol.K

据杜隆-珀替定律:(3Al2O3.2SiO4)

Cp=21*24。94=523.74

J/mol.K

2-2

康宁1723玻璃(硅酸铝玻璃)具有下列性能参数:λ=0.021J/(cm.s.℃);

α=4.6*10-6/℃;σp=7.0Kg/mm2.E=6700Kg/mm2,μ=0.25.求第一及第二热冲击断裂抵抗因子。

第一冲击断裂抵抗因子:

=

=170℃

第二冲击断裂抵抗因子:

=170*0.021=3.57

J/(cm.s)

2-3

一热机部件由反应烧结氮化硅制成,其热导率λ=0.184J/(cm.s.℃),最大厚度=120mm.如果表面热传递系数h=0.05

J/(cm2.s.℃),假定形状因子S=1,估算可兹应用的热冲击最大允许温差。

=226*0.184

==447℃

2-4、系统自由能的增加量,又有若在肖特基缺陷中将一个原子从晶格内移到晶体表面的能量求在0℃产生的缺陷比例(即)是多少?

2-5在室温中kT=0.024eV,有一比费米能级高0.24eV的状态,采用玻尔兹曼统计分布函数计算时,相对于费米-狄拉克统计分布函数计算的误差有多少?

2-6

NaCl和KCl具有相同的晶体结构,它们在低温下的Debye温度θD分别为310K和230K,KCl在5K的定容摩尔热容为3.8*10-2J/(K.mol),试计算NaCl在5K和KCl在2K的定容摩尔热容。

2-7

证明固体材料的热膨胀系数不因为含均匀分散的气孔而改变。

2-8

在一维双原子的点阵中:

(1)若求证存在关系?

(2)证明在L=,声频支中所有轻原子静止,而光频支中所有重原子

静止,并画出此时原子的振动图像。

(3)若,请证明此时只有声频支而无光频支。

2-9

试计算一条合成刚玉晶体Al2O3棒在1K的热导率,它的分子量为102,直径为3mm,声速500m/s,密度为4000kg/m3,德拜温度为1000K。

2-10

一样品在300K的热导率为320J/(m2.s.K),电阻率为10-2,求,其电子热导热的比值.(Loremtz常量L=2.45*10-8(V/K)2

3

材料的光学性能

3-1.一入射光以较小的入射角i和折射角r通过一透明明玻璃板,若玻璃对光的衰减可忽略不计,试证明明透过后的光强为(1-m)2

解:

W

=

W’

+

W’’

其折射光又从玻璃与空气的另一界面射入空气

3-2

光通过一块厚度为1mm

的透明Al2O3板后强度降低了15%,试计算其吸收和散射系数的总和。

解:

3-3

有一材料的吸收系数α=0.32cm-1,透明光强分别为入射的10%,20%,50%及80%时,材料的厚度各为多少?

解:

3-4一玻璃对水银灯蓝、绿谱线λ=4358A和5461A的折射率分别为1.6525和1.6245,用此数据定出柯西Cauchy近似经验公式的常数A和B,然后计算对钠黄线λ=5893A的折射率n及色散率dn/dλ值。

解:

3-5.摄影者知道用橙黄滤色镜拍摄天空时,可增加蓝天和白云的对比,若相机镜头和胶卷底片的灵敏度将光谱范围限制在3900-6200A之间,并反太阳光谱在此范围内视成常数,当色镜把波长在5500A以后的光全部吸收时,天空的散射光波被它去掉百分之几呢?

[瑞利Rayleugh定律认为:散射光强与λ4成反比]

解:

3-6.设一个两能级系统的能级差

(1)分别求出T=102K103K,105K,108K时粒子数之比值N2/N1

(2)N2=N1的状态相当于多高的温度?

(3)粒子数发生反转的状态相当于臬的温度?

解:

1)

2)

3)

已知当时粒子数会反转,所以当时,求得T>a,b

3)

薄圆板体:

b=a>>c

5-4何谓轨道角动量猝灭现象?

由于晶体场导致简并能级分裂,可能出现最低轨道能级单态.当单态是最低能级轨道时,总轨道角动量的绝对值L2虽然保持不变,但轨道角动量的分量Lz不再是常量.

当Lz的平均值为0,即时,称其为轨道角动量猝灭.

5-5推导居里-外斯定律,说明磁化率与温度的关系0

证明:

铁磁体中作用于本征磁矩的有效磁感应场

其中M为磁化强度,则为内场,顺磁体磁化强度表达式:

把B0用Beff代替,则得到铁磁体磁化强度:

……………….(1)

当T>Tc时,自发磁化强度消失,只有在外磁场B0作用下产生磁化强度

当T>>Tc时,可令,则(1)式变为:

………………(2)

又代入(2)式

解得

则得

当T时,为铁磁性

当T

>

Tc

时,为顺磁性

5-6自发磁化的物理本质是什么?材料具有铁磁性的充要条件是什么?

答:

铁磁体自发磁化的本质是电子间的静电交换相互作用

材料具有铁磁性的充要条件为:

1)

必要条件:材料原子中具有未充满的电子壳层,即原子磁矩

2)

充分条件:交换积分A

>

0

5-7超交换作用有哪些类型?

为什么A-B型的作用最强?

答:

具有三种超交换类型:

A-A,B-B和A-B

因为金属分布在A位和B位,且A位和B位上的离子磁矩取向是反平行排列的.

超交换作用的强弱取决于两个主要的因素:

1)两离子之间的距离以及金属离子之间通过氧离子所组成的键角ψi

2)

金属离子3d电子数目及轨道组态.

A-B型ψ1=125°9’

;

ψ2=150°34’

A-A型ψ3=79°38’

B-B型ψ4=90°;

ψ5=125°2’

因为ψi越大,超交换作用就越强,所以A-B型的交换作用最强.

5-8

论述各类磁性χ-T的相互关系

1)

抗磁性.

与温度无关,Tc时显顺磁性

3)

反铁磁性:当温度达到某个临界值TN以上,服从居里-外斯定律

4)

铁磁性:

χf>0,T0时,电子自旋不平行,则会引起系统交换能的增加,Fex>0,只有当不考虑自旋轨道耦合时,交换能Fex是各向同性的.

磁晶各向异性能Fx,是饱和磁化强度矢量在铁磁材料中取不同方向时随时间而改变的能量,仅与磁化强度矢量在晶体中的相对晶轴的取向有关

磁晶各向异性来源于电子自旋与轨道的相互耦合作用以及晶体电场效应.这种原子或离子的自旋与轨道的耦合作用,会导致铁磁体的长度和体积的大小发生变化,出现所谓的磁致伸缩

铁磁体在受到应力作用时会发生相应的应变,从而引起磁弹性能Fσ,包括由于自发形变而引起的磁应力能,包括外加应力和内应力

铁磁体在外磁场中具有位能成为外磁场能FH,外磁场能是铁磁体磁化的动力

有限尺寸的铁磁体材料,受到外加磁场H的变化,会在两端面上分别出现正负磁荷,从而产生减弱外磁场的磁场Hd,均匀磁化材料的退磁场能Fd为:

5-10用能量的观点说明铁磁体内形成磁畴的原因

答:根据热力学定律,稳定的磁状态一定是对应于铁磁材料内总自由能极小值的状态.磁畴的形成和稳定的结构状态,也是对应于满足总的自由能为极小值的条件.对于铁材料来说,分成磁畴后比分成磁畴前能量缩小,故铁磁材料自发磁化后必然分成小区域的磁畴,使总自由能为最低,从而满足能量最低原理.可见,退磁场能是形成磁畴的原因

5-11

设立方晶体铁磁材料的,计算其单畴的临界尺寸。

解:单位面积的畴壁能量

S为自旋量子数=1

磁畴宽度

L=10-2m

5-12设铁磁材料的内应力分布为,试计算弱磁场下材料的磁导率。

解:此题通过内应力分布为,可见为90°畴壁位移,其为位移磁方程为,当外磁场变化,畴壁位移

平衡时

此时沿外磁场方向上磁矩将增加为单位体积90°畴壁的面积)

设磁畴宽度,在单位体积内将有2/D个畴和畴壁数目,因而单位体积内畴壁面积应为

将(2)(3)代入(1),可得:

5-13.

证明复数磁导率中,

证明:

用单弛豫来描述,磁场为交变磁场强度作用下

磁感应强度为

所以为半圆形

5-14.

比较静态磁化与动态磁化的特点

材料受磁场作用

磁滞回归线包围面积

磁损耗

静态磁化

静态磁场

静态磁滞损耗

动态磁化

动态磁场

磁滞损耗,涡流损耗,剩余损耗

5-15.讨论动态磁化过程中,磁损耗与频率的关系。

1)低频区域(f

1010Hz)对应为自然交换共振区域。

6

材料的功能转换性能

6-1

金红石(TiO2)的介电常数是100,求气孔率为10%的一块金红石陶瓷介质的介电常数。

6-2

一块1cm*4cm*0.5cm的陶瓷介质,其电容为2.4-6μF,损耗因子tgδ为0.02。求:

相对介电常数;

损耗因素。

6-3

镁橄榄石(Mg2SiO4)瓷的组成为45%SiO2,5%Al2O3和50%MgO,在1400℃烧成并急冷(保留玻璃相),陶瓷的εr=5.4。由于Mg2SiO4的介电常数是6.2,估算玻璃的介电常数εr。(设玻璃体积浓度为Mg2SiO4的1/2)

6-4

如果A原子的原子半径为B的两倍,那么在其它条件都是相同的情况下,原子A的电子极化率大约是B的多少倍?

6-5

为什么碳化硅的电容光焕发率与其折射率的平方n2相等

38

篇3:分式知识点总结和练习题讲义

分式知识点总结和练习题讲义 本文关键词:分式,练习题,知识点,讲义

分式知识点总结和练习题讲义 本文简介:分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算(一)分式定义及有关题型题型一:考查分式的定义:一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。【例1】下列代数式中:,是分式的有:.题型二:考查分式有意义的条件分式有意义:分母不为0()分式无意义:分母为0()【例1

分式知识点总结和练习题讲义 本文内容:

分式知识点总结和题型归纳

第一部分

分式的运算

(一)分式定义及有关题型

题型一:考查分式的定义:

一般地,如果A,B表示两个整数,并且B中含有字母,那么式子叫做分式,A为分子,B为分母。

【例1】下列代数式中:,是分式的有:

.

题型二:考查分式有意义的条件

分式有意义:分母不为0()

分式无意义:分母为0()

【例1】当有何值时,下列分式有意义

(1)

(2)(3)(4)(5)

题型三:考查分式的值为0的条件

分式值为0:分子为0且分母不为0()

【例1】当取何值时,下列分式的值为0.

(1)

(2)

(3)

【例2】当为何值时,下列分式的值为零:

(1)

(2)

题型四:考查分式的值为正、负的条件

分式值为正或大于0:分子分母同号(或)

分式值为负或小于0:分子分母异号(或)

【例1】(1)当为何值时,分式为正;

(2)当为何值时,分式为负;

(3)当为何值时,分式为非负数.

【例2】解下列不等式

(1)(2)

题型五:考查分式的值为1,-1的条件

分式值为1:分子分母值相等(A=B)

分式值为-1:分子分母值互为相反数(A+B=0)

【例1】若的值为1,-1,则x的取值分别为

思维拓展练习题:

1、

若a>b>0,+-6ab=0,则

2、

一组按规律排列的分式:(ab0),则第n个分式为

3、

已知,求的值。

4、

已知求分式的值。

(二)分式的基本性质及有关题型

1.分式的基本性质:

2.分式的变号法则:

题型一:化分数系数、小数系数为整数系数

【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数.

(1)

(2)

题型二:分数的系数变号

【例1】不改变分式的值,把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.

(1)

(2)(3)

题型三:化简求值题

【例1】已知:,求的值.

【例2】已知:,求的值.

【例3】若,求的值.

【例4】已知:,求的值.

【例5】若,求的值.

【例6】如果,试化简.

思维拓展练习题

1、

对于任何非零实数a,b,定义运算“*”如下:,求2*1+3*2+…+10*9的值

2、

已知求代数式的值

(3)

分式的运算

分式的乘除法法则:

乘法分式式子表示为:

除法分式式子表示为:

分式的乘方:把分子、分母分别乘方。式子表示为:

分式的加减法则:

异分母分式加减法:式子表示为:

整式与分式加减法:可以把整式当作一个整数,整式前面是负号,要加括号,看作是分母为1的分式,再通分。

题型一:通分

1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.

【例1】将下列各式分别通分.

(1)

(2);

(3)

(4)

题型二:约分

①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分,约去分子、分母系数的最大公约数,然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式,先对分子分母进行因式分解,再约分。

【例2】约分:

(1)

(2);

(3).

题型三:分式的混合运算

【例3】计算:

(1);(2);

(3);

(4);

(5);

(6);

(7)

题型四:化简求值题

【例4】先化简后求值

(1)已知:,求分子的值;

(2)已知:,求的值;

(3)已知:,试求的值.

题型五:求待定字母的值

【例5】若,试求的值.

思维拓展练习题:

1、

某工厂通过改造设备,平均每天节约用煤,那么相同数量的煤,现在使用的天数是原来的几倍?

2、

若非零实数a,b满足,则

3、

若,求的值

4、

已知abc=1,求的值

5、

已知a,b,c为实数,且,求的值

第二部分

分式方程

分式方程的解的步骤:

⑴去分母,把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的过程)

⑵解整式方程,得到整式方程的解。

⑶检验,把所得的整式方程的解代入最简公分母中:

如果最简公分母为0,则原方程无解,这个未知数的值是原方程的增根;如果最简公分母不为0,则是原方程的解。

产生增根的条件是:①是得到的整式方程的解;②代入最简公分母后值为0。

(一)分式方程题型分析

题型一:用常规方法解分式方程

【例1】解下列分式方程

(1)

;(2);(3);(4)

题型二:特殊方法解分式方程

【例2】解下列方程

(1)

(2)

提示:(1)换元法,设;

(2)裂项法,.

【例3】解下列方程组

题型三:求待定字母的值

【例4】若关于的分式方程有增根,求的值.

【例5】若分式方程的解是正数,求的取值范围.

题型四:解含有字母系数的方程

【例6】解关于的方程

题型五:列分式方程解应用题

1、某服装厂准备加工400套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问:原计划每天加工服装多少套?

2、某商店经销一种泰山旅游纪念品,4月份的营业额为2000元,为扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品打6折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元。

(1)

求该种纪念4月份的销售价格?

(2)

若4月份销售这种纪念品获得800元,5月份销售这种纪念品获利多少元?

3、河边两地相距50km,,船在静水中的速度是m(km/h),水流速度是n(km/h).

(1)船从河边两地往返一次需要多长时间?

(2)当m=30,n=10时,求船往返一次需要的时间?

4、“丰收1号”小麦的试验田是边长为a(m)的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a-1)m的正方形,两块试验田的小麦都收获了500kg

(1)哪种小麦的单位面积产量高?

(2)小麦高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?

思维拓展练习题:

1、

已知,求的值。

(二)分式方程的特殊解法

解分式方程,主要是把分式方程转化为整式方程,通常的方法是去分母,并且要检验,但对一些特殊的分式方程,可根据其特征,采取灵活的方法求解,现举例如下:

一、交叉相乘法

例1.解方程:

二、化归法

例2.解方程:

三、左边通分法

例3:解方程:

四、分子对等法

例4.解方程:

五、观察比较法

例5.解方程:

六、分离常数法

例6.解方程:

七、分组通分法

例7.解方程:于的分式方程无解,试求的值.

(三)分式方程求待定字母值的方法

题型一:关于无解的情况

例1.若分式方程无解,求的值。

题型二:关于不会有增根的情况

例2.若关于的方程不会产生增根,求的值。

题型三:关于有增根的情况

例3.若关于分式方程有增根,求的值。

例4.若关于的方程有增根,求的值。

11

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